О работах М.В. Келдыша по механике

Константин Иванович Бабенко,
ИПМ им.М.В.Келдыша

В 1931 г. молодым выпускником МГУ пришел работать Мстислав Всеволодович Келдыш в Центральный аэрогидродинамический институт, в общетеоретическую группу. В то время в Институте работало большое число первоклассных математиков и механиков, составлявших коллектив с большим творческим потенциалом. Научную жизнь Института возглавлял выдающийся механик С.А. Чаплыгин. Таким образом, М.В. Келдыш с первых же шагов своей деятельности попал в среду увлеченно, творчески работающего коллектива, занятого решением важных общих выдвигаемых бурным развитием авиации задач из области аэрогидродинамики, теории прочности конструкций, устойчивости движения.

Название первой научной публикации М.В. Келдыша — большой работы на 40 страницах — звучит вполне академично: "Внешняя задача Неймана для нелинейных уравнений эллиптического типа с приложением к теории крыла в сжимаемом газе". Однако окончательный результат, полученный в этой работе, — обобщение формулы Жуковского на случай обтекания профиля дозвуковым потоком сжимаемого газа, имеет большое прикладное значение. Проблема перенесения формулы Жуковского на случай обтекания газом сыграла исключительную роль в истории математики и механики, а работа М.В. Келдыша во всей этой проблематике имеет фундаментальное значение. В самом деле, когда с ростом скоростей полета самолетов стала актуальной задача учета сжимаемости воздуха, механики обратились прежде всего к исследованию потенциальных плоских дозвуковых течений газа. Но при этом перед ними возникала существенная трудность — нелинейный, а точнее, квазилинейный характер уравнений, описывающих эти течения. В то время, когда писалась работа М.В. Келдыша, теория квазилинейных эллиптических уравнений и систем уравнений находилась в самом начале своего развития. Задача об обтекании тела потоком газа стимулировала интерес математиков к задаче Неймана для эллиптических квазилинейных уравнений, и уже после войны возник большой поток работ в этой области. В свою очередь, исследование квазилинейных эллиптических систем вызвало к жизни замечательную теорию квазиконформных отображений и теорию обобщенных аналитических функций. В настоящее время обоснование формулы Жуковского для более широкого диапазона чисел Маха, чем в работе М.В. Келдыша, получено с помощью мощных топологических методов, но в то время, когда писалась работа М.В. Келдыша, такие методы еще не были созданы. Эта история с обобщением формулы Жуковского на случаи обтекания сжимаемым газом показывает, сколь плодотворно сотрудничество математики и механики и сколь важно для механиков умение использовать самые современные достижения математики.

М.В. Келдыш. 1971 г.

Возвращаясь к работе М.В. Келдыша, нужно сказать, что для своего времени она основана на самой передовой математической технике. В послевоенные годы эта работа имела многочисленные продолжения, когда газодинамики учитывали сжимаемость при решении тех или иных задач, отыскивая решение в виде ряда по степеням числа Маха, как это делал М.В. Келдыш, а до него Релей. При этом строилось в явном виде несколько первых членов ряда, а вопрос сходимости не затрагивался. В работе М.В. Келдыша вопрос о сходимости — основной. Из всего сказанного ясно, что работа М.В. Келдыша имеет фундаментальный основополагающий характер.

Следующая работа, близкая к предыдущей по своему духу, это работа "К теории винта проф. Н.Е. Жуковского". Задача о гребном винте — нелинейная задача, и ее нелинейность вызвана тем, что свободные вихри занимают в жидкости область, граница которой заранее неизвестна. Более того, пока не доказана теорема существования, заранее неясно, возможно ли положение равновесия, совместное с уравнениями гидродинамики, системы вихрей, заменяющих пропеллер, и свободных вихрей. С математической точки зрения задача сводится к построению решения 8 нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. С использованием остроумного метода итераций и сложных нетривиальных оценок в работе доказывается теорема существования и тем самым дается строгое обоснование теории Н.Е. Жуковского, причем в качестве первого приближения получаются формулы Н.Е. Жуковского. Обе эти работы составляют единый цикл и выполнены в сотрудничестве с Ф.И. Франклем.

Второй большой цикл работ молодого исследователя посвящен теории плоских безвихревых течений идеальной жидкости. Сюда относятся работа по жесткому удару пластинки о воду и совместная с М.А. Лаврентьевым работа об одновременном ударе о воду нескольких жестких пластинок. Несколько работ посвящено вопросу о движении тела под поверхностью тяжелой жидкости, в предположениях теории малых волн. Теория волн малой амплитуды на поверхности тяжелой жидкости — классическая широко развитая область гидродинамики, где господствующим методом исследования был метод Фурье. В своих работах М.В. Келдыш широко использовал метод теории функций комплексного переменного, сделав решающий шаг, когда он ввел вместо искомой функции не характеристическую функцию потока, а некоторую линейную комбинацию характеристической функции и ее производной, упростив тем самым условие на свободной поверхности. Это позволило ему решать задачу определения течения при заданной особенности под свободной поверхностью, и в частности, когда задан источник, вихрь, мультиполь. В начале 30-х годов появился ряд конструкций глиссеров с подводными крыльями, в связи с чем стала актуальной задача о движении крыла вблизи поверхности тяжелой жидкости. В работе "О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости" (написанной совместно с М.А. Лаврентьевым) построена теория движения изолированного тонкого крыла под поверхностью тяжелой жидкости. В этом исследовании существенным образом используются результаты предыдущей работы М.В. Келдыша, и, в итоге нетривиального аналитического исследования, получены формулы для подъемной силы, волнового сопротивления и момента. Работа М.В. Келдыша о течении с заданной особенностью имела многочисленные продолжения. Нужно отметить, что упомянутые работы М.В. Келдыша, работы М.А. Лаврентьева, Л.И. Седова и др. по теории тонкого крыла, удара о воду, теории малых волн замечательны тем, что в них решены не только конкретные задачи, но и дано эффективное обобщение.

Далее, в рамках строгой постановки М.В. Келдышем дано (совместно с М.А. Лаврентьевым) решение задачи о движущейся пластинке, совершающей малые гармонические колебания. Формулы для сил и моментов получены в явном виде через бесселевы функции, и в результате их анализа установлен замечательный результат о возникновении силы тяги на некоторых режимах колебаний. Наконец, в работе "К теории крыла конечного размаха, колеблющегося в потоке воздуха" та же задача решена для крыла произвольной формы в плане. В работах ЦАГИ по расчету флаттера крыла либо хвостового оперения самолета аэродинамические нагрузки брались на основе гипотезы стационарности с поправкой на конечность размаха крыла и с учетом его конструктивных особенностей.

Крыло самолета является сложной упругой системой с бесконечным числом степеней свободы, и для создания методики расчета на флаттер необходима схематизация упругих свойств крыла. Крыло рассматривалось как балка, работающая на кручение и изгиб. В результате математическая задача о расчете флаттера сводилась к решению задачи на собственные значения для несамосопряженной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Скорость полета входит в уравнение как параметр, и требуется определить то ее значение, называемое критическим, при котором возможны незатухающие колебания. При современном развитии ЭВМ и численных методов указанная математическая задача не представляет никаких трудностей, но в те годы, когда не было ЭВМ, это была задача колоссальной трудности, и замечательно, что для ее приближенного решения был предложен метод, адекватный тем упрощениям, которые были сделаны в постановке задачи. А именно: задача решалась с помощью метода Бубнова-Галеркина, причем бралась только одна базисная функция! В своей работе "Вибрации в воздушном потоке крыла с подкосами" М.В. Келдыш дал метод расчета критической скорости крыла с подкосами и исследовал влияние подкосов различных типов на величину критической скорости. Вместе с сотрудниками он в многочисленных работах рассмотрел ряд задач о флаттере: так в огромной по объему работе исследована фундаментальная задача о флаттере крыла с элероном, в ряде работ исследовалось влияние сосредоточенных грузов в крыле, изучались колебания крыла с упруго прикрепленным мотором и т. п. В этих работах не только предлагалась методика определения критической скорости флаттера, но и давались совершенно конкретные конструктивные рекомендации по борьбе с флаттером.

Совершенно замечательным во всех этих работах являлось то обстоятельство, что несмотря на грубость схемы, принятой для расчета критической скорости флаттера, она правильно схватывала сущность явления, и в результате расчетов получались верные значения критической скорости.

М.В. Келдыш занимался и экспериментальной стороной теории флаттера — моделированием в трубах. С этой целью он рассмотрел законы механического подобия, чтобы на их основе строить специальные флаттерные динамически подобные модели. Таким образом, работы М.В. Келдыша и возглавляемого им тогда коллектива не только дали возможность рассчитать для любого данного самолета критическую скорость флаттера, но и дали в руки конструкторам средства борьбы с ним. В этих работах М.В. Келдыш выступает как наделенный глубокой интуицией инженер-механик и экспериментатор. Но и в этой области проявилась характерная черта творчества М.В. Келдыша — умение найти в конкретной прикладной задаче общую теорию, лежащую в ее основе. В связи с задачей флаттера М.В. Келдыш провел исследование сходимости метода Бубнова-Галеркина для неконсервативных систем и доказал применимость этого эффективного метода численного интегрирования дифференциальных уравнений для решения многих задач механики и математической физики. Эти же задачи вибраций на самолете привели Мстислава Всеволодовича к последующим занятиям теорией несамосопряженных операторов, в результате которых появилась такая жемчужина функционального анализа, как его работа "О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов". Эта работа открыла новую главу в функциональном анализе, которой законно гордится советская математика.

Еще одна очень важная проблема автоколебаний на самолете — это проблема шимми переднего колеса трехколесного шасси. На определенной скорости разбега самолета возникают автоколебания самоориентирующегося переднего колеса, приводящие к разрушению передней ноги шасси и к последующей аварии. Колебания колеса, получившие название "шимми", состоят из поворотов относительно вертикальной оси и боковых смещений. Ясно, что возможность таких колебаний обеспечивается подводом энергии к системе стойка-колесо за счет обратных связей, возникающих при качении колеса. Чтобы дать математическую постановку задачи о шимми, М.В. Келдыш изучил упругие деформации пневматика и на этой основе предложил теорию качения по плоскости колеса с деформирующимся пневматиком. Эта теория качения позволила ему вывести уравнение шимми с учетом деформаций пневматика, вращения стойки и ее изгиба. Полученные уравнения дали возможность рассчитать скорость, на которой возникает шимми, и провести детальный анализ зависимости от конструктивных параметров стойки необходимого для предотвращения шимми демпфирования. Работы М.В. Келдыша по флаттеру и шимми удостоены Государственных премий соответственно в 1942 и 1946 г.

С именем М.В. Келдыша связано становление современной вычислительной математики и, если применить модную в последнее время терминологию, наряду с вычислительной механикой и вычислительной физикой. Вопросы развития новой техники выдвинули такие задачи механики и физики, которые уже нельзя было решать на основе их грубой схематизации. Требовалось на базе принятой модели сплошной среды осуществлять решения задач с высокой точностью. Это поставило перед математикой и механикой задачи колоссальной трудности, и преодоление их было возможно только на пути создания новых мощных вычислительных средств и разработки новых методов вычислительной математики.

В самом начале 50-х годов в МИАН им. В.А. Стеклова по инициативе М.В. Келдыша была создана группа, которая стала заниматься как теоретическими, так и практическими задачами обеспечения расчетов на ЭВМ. Это было время, когда наши известные машины "БЭСМ-1" и "Стрела" еще не вошли в строй. Но высокий научный потенциал в начатых тогда исследованиях по программированию определил наши успехи в последующие несколько лет. Эти наши достижения признаны широкой математической общественностью. В эти же годы в МИАН под руководством Мстислава Всеволодовича работали большие группы специалистов по вычислительной математике, и когда в 1953 г. из Математического института выделилось Отделение прикладной математики, то в него влились все эти группы. Организация Отделения прикладной математики, впоследствии переименованного в Институт прикладной математики, была важной вехой в развитии вычислительной математики и механики в нашей стране и является крупной заслугой М.В. Келдыша. В этом институте М.В. Келдышу удалось собрать большое число крупных специалистов в области вычислительной математики и вычислительной техники. Исключительные волевые качества Мстислава Всеволодовича, его ясный ум и огромный научный авторитет способствовали сплочению сотрудников Института в единый научный коллектив, достигший за короткий срок выдающихся научных результатов. Будучи директором Института прикладной математики и обремененный другими многочисленными обязанностями, М.В. Келдыш сумел внести огромный личный вклад в развитие вычислительной математики и механики. К сожалению, его идеи и разработки не всегда материализовались в виде отчетов и статей, и приходится сожалеть о некоторых утерянных результатах, о которых он, всегда сдержанный и внешне несколько суховатый, любил говорить со своими ближайшими сотрудниками. Возглавив Академию наук СССР, М.В. Келдыш пошел на большие жертвы в личной научной работе, и как знать, если бы время ему позволяло, мы были бы свидетелями новых выдающихся научных результатов в математике и механике, которые получил бы этот замечательный ученый.

1981 г.