О математических работах М.В. Келдыша

Виктор Антонович Садовничий, академик

Доклад на торжественном заседании Президиума РАН,
посвященном 90-летию М.В. Келдыша

Глубокоуважаемый Юрий Сергеевич! Глубокоуважаемые коллеги!

Я хотел сказать, что мне предстоит трудная для меня задача рассказать о математических работах Мстислава Всеволодовича. Я допускаю, что в аудитории не все люди являются профессиональными математиками и поэтому надо выбирать язык. Я все-таки постараюсь дать точные формулировки с тем, чтобы все почувствовали то пространство и ту глубину абстракции, которыми пришлось заниматься Мстиславу Всеволодовичу Келдышу. Хотя, конечно, по возможности я буду разбавлять свое выступление и обычными высказываниями, не связанными с языком математики.

Итак, с именем Мстислава Всеволодовича Келдыша связаны выдающиеся достижения отечественной науки и техники, решение ряда важных государственных задач. Теоретик космонавтики, автор глубоких исследований в области математики, механики, техники он продолжал и развивал традиции передовых русских ученых, соединявших широкие научные интересы с конкретными прикладными задачами.

Президент Академии наук СССР, он был блестящим организатором исследовательской работы в стране. С его деятельностью связано создание и становление крупных исследовательских коллективов и возникновение новых направлений научного поиска.

В яркой личности Мстислава Всеволодовича Келдыша гармонично сочетались замечательный ученый, блестящий инженер и выдающийся организатор. Успех многих его прикладных работ в значительной мере был предопределен его высоким потенциалом математика, его умением в конкретной прикладной задаче найти лежащую в ее основе математическую проблему, и наоборот, во многих фундаментальных математических исследованиях найти прикладную тематику.

Возможно, в XXI веке не будет больше ученых, равных ему, как в современной математике, так и в механике и технике. В XX веке таковые еще встречались, и одним из наиболее ярких примеров тому был Мстислав Всеволодович Келдыш.

Мстислав Всеволодович Келдыш, как мы знаем, родился 28 января, а по паспорту 10 февраля нового стиля, в 1911 году в Риге в большой семье профессора Рижского политехнического института, крупного инженера-строителя, впоследствии академика архитектуры Всеволода Михайловича Келдыша. В 1915 г. семья Келдышей переезжает из прифронтовой Риги в Москву. В 1919 г. В.М. Келдыш приглашен в Ивановский политехнический институт, организуемый по инициативе М.В. Фрунзе. Из четырех его сыновей только младшему Мстиславу нравилась отцовская специальность.

В Москве, куда Келдыши возвращаются в 1923 г., Мстислав переходит в школу со строительным уклоном, а летом ездит с отцом на стройки. В 1927 г. он оканчивает школу, но в строительный институт его не принимают по молодости лет. По совету старшей сестры Людмилы он поступает в Московский университет на математическое отделение физматфакультета. Это был 1927 год, обучение тогда продолжалось четыре года.

Время с 1927 по 1931 г. было временем становления Мстислава Всеволодовича Келдыша как ученого. Научный энтузиазм, который царил в это время на физматфакультете МГУ, сразу вовлек молодого 16-летнего студента в научную работу.

Еще на студенческой скамье М.В. Келдыш под влиянием М.А. Лаврентьева начал интересоваться проблемами комплексного анализа. В те годы методы теории функции комплексного переменного широко использовались для решения двумерных задач механики сплошной среды и позволяли путем не слишком сложных расчетов доводить эти решения до числа. В то же время классическая теория аналитических функций быстро изменялась, впитывая последние достижения теоретико-множественной математики, в первую очередь теории функции действительного переменного.

Молодой Келдыш никогда не примыкал к знаменитой "Лузитании" — группе учеников академика Лузина, куда входила его старшая сестра Людмила и ряд крупных московских математиков старшего поколения. Его больше интересовали аналитические проблемы, но и методы теоретико-множественной теории он глубоко изучил и владел ими мастерски.

По соседству с "Лузитанией" находилась лаборатория, созданная Н.Е. Жуковским. Первый спецкурс по выбору студентов был спецкурс по гидромеханике, и молодой Келдыш сделал этот выбор сознательно, предугадывая возможность в ближайшем будущем приложения своих математических результатов в аэромеханике.

Сразу после окончания МГУ М.В. Келдыш сделал доклад на I Всесоюзной конференции по механике в мае 1932 г. о работе, где впервые строго, в общем случае с учетом сжимаемости воздуха была установлена формула Жуковского для подъемной силы профиля крыла, движущегося с дозвуковой скоростью. Через два года он, в соавторстве с Франклем, эту работу опубликовал. Взгляните, пожалуйста, на фото М.В. Келдыша. Это одна из редких фотографий выпускника МГУ 1931 г. Прекрасное время, прекрасный возраст — 20 лет, и уже первые значительные результаты по прикладной математике. Он — выпускник кафедры теории функций и функционального анализа, окончил физико-математический факультет по специальности "чистая математика".

В 1931 г. молодым выпускником МГУ М.В. Келдыш пришел работать в Центральный аэрогидродинамический институт в общетеоретическую группу. В то время в Институте работало большое число первоклассных математиков и механиков, составляющих коллектив с большим творческим потенциалом. Научную жизнь института возглавлял выдающийся механик С.А. Чаплыгин. Таким образом, Келдыш с первых же шагов своей деятельности попал в среду увлеченного, творчески работающего коллектива, занятого решением важных общих задач из области аэрогидродинамики, теории прочности конструкций, устойчивости движения, которые выдвигало бурное развитие авиации.

Одновременно М.В. Келдыш начал и преподавательскую деятельность: сначала, в 1930 г., — в Государственном электромашиностроительном институте, а затем в МГУ с 1932 г.

Преподаватель М.В. Келдыш (пятый слева в верхнем ряду)
со студентами ГЭМИ. 1931 г.

На фото — преподаватель 4-го курса Государственного электромашиностроительного института (ГЭМИ) М.В. Келдыш. Подпись на оригинале: "Келдышу — лучшему преподавателю 5-ой группы 4-го курса ГЭМИ".

Значительная часть трудовой жизни М.В. Келдыша была связана с Московским университетом. Его узкой специализацией была теория функций комплексного переменного (ТФКП). В 1937 г. Келдыш стал профессором Московского университета, где читал курс ТФКП. Читал он понятно, четко, под стать подтянутому внешнему виду красивого молодого ученого. Манеры рассуждения в лекционном курсе были столь же гармоничны и изящны. Одну из лекций Келдыш начал цитированием Л. Толстого: "Все счастливые семьи счастливы одинаково. Каждая несчастливая семья несчастлива по-своему". Далее лектор, т. е. Мстислав Всеволодович, пояснил, что характер аналитических функций вполне определяется ее особыми точками. Здесь имеется в виду, что регулярные части функций похожи, а особые части в ряде Лорана определяются особыми точками. Отсюда сравнение с несчастливыми семьями.

Изложение трудного материала казалось всегда несложным и интересным. Были и шутники, позволявшие себе, по-видимому, из зависти, вольные стишки:

Печальный Келдыш, дух изгнания,
Витал над контуром Коши
И эйлеровы изыскания
Муавру приписал в тиши.

(Здесь идет спор о формуле Эйлера-Муавра.)

Умение соединять чисто математические результаты с методами решения прикладных задач и, наоборот, находить конкретные проблемы в постановке новых математических задач, приобретенное на физматфакультете МГУ, Келдыш пронес через всю свою творческую жизнь.

Сейчас я хочу остановиться на математических работах. Я приношу извинения за терминологию, которую я буду использовать. Сначала несколько слов о самой первой работе молодого Келдыша, выполненной в ЦАГИ в 1934 г. совместно с Франклем. Ее название: "Внешняя задача Неймана для нелинейных уравнений эллиптического типа с приложением к теории крыла в сжимаемом газе".

Окончательный результат работы — обобщение формулы Жуковского, когда учитывается сжимаемость обтекаемого газа. Эта формула имеет принципиальное значение в аэромеханике. Сжимаемость влечет за собой нелинейный или квазилинейный характер соответствующего эллиптического уравнения.

В 1934 г. теория таких уравнений находилась в самом зачаточном состоянии, и работа Келдыша стимулировала интерес математиков к этой теме.

Исследования по теории квазилинейных эллиптических систем вызвали к жизни замечательную теорию квазикомформных отображений и теорию обобщенных аналитических функций. Кстати, теорию квазиконформных отображений блестяще подхватил и развил тогда Михаил Алексеевич Лаврентьев.

Необходимо сказать, что для своего времени эта работа Келдыша была основана на самой передовой математической технике. В послевоенные годы она имела многочисленные приложения.

Наибольшую часть математических исследований Келдыша составляют работы по теории приближения функций комплексного переменного. Первые результаты в этой области связаны с именами таких блестящих математиков мирового класса, как Рунге, Борель, Карлеман, Уолш, Смирнов и учителя Келдыша в студенческие и аспирантские годы в Стекловском институте — Лаврентьева.

Фундаментальным работам Келдыша, в которых окончательно решается вопрос о равномерных полиномиальных приближениях на замкнутых областях, предшествовала блестящая работа Михаила Алексеевича Лаврентьева 1934 г., в которой было получено предельно широкое обобщение классической теоремы Вейерштрасса. Любая непрерывная функция на ограниченном замкнутом множестве тогда и только тогда есть равномерный предел полиномов, когда множество не разбивает плоскость, т. е. дополнение к множеству связно, и это множество не содержит областей, т. е. оно нигде не плотно. Это классическое обобщение классической теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении любой непрерывной функции полиномами, но перенесенное на случай комплексной плоскости. А Келдыш, напротив, исследует тот случай, когда множество состоит из замыкания одной односвязной области. Ну, скажем, круг — замыкание круга.

Классическая теорема Келдыша (1945 г.) звучит очень просто: "Любая непрерывная функция на замыкании и аналитическая на множестве внутренних точек аппроксимируется равномерно сходящимся рядом полиномов тогда и только тогда, когда дополнение к замыканию области есть область, содержащая бесконечно удаленную точку".

Это, бесспорно, теорема для любого учебника. Ее окончательное оформление и решение этой проблемы было получено в 1945 г. учеником Келдыша С.Н. Мергеляном. Он доказал, что теорема Келдыша верна вообще для любого замкнутого ограниченного множества, которое не разбивает плоскость, т. е. не обязательно для замыкания области.

Таким образом, эта теорема и, главное, методы и идеи, лежащие в доказательстве, стали истоками многих проблем, уходящих в алгебру, функциональный анализ, в так называемую в банахову алгебру.

Перечислю теперь некоторые проблемы теории функций комплексного переменного, которыми занимался Келдыш частично с Лаврентьевым. Я буду их показывать и, может быть, как-то комментировать.

Первое — это проблема среднеквадратичной аппроксимации по площади области, когда близость между функциями понимается не в смысле расстояния между точками, а квадратично, в смысле интегралов от квадрата соответствующего выражения.

Второе — исследование проблем полноты полиномов в квадратичной метрике с весом. Келдыш установил достаточное условие, накладываемое на тот вес, который гарантирует полноту системы полиномов в произвольной области.

Третье. В ряде работ Келдыш рассматривает вопросы приближения посредством целых аналитических функций.

Здесь я скажу немножко свободно. Если полиномы все мы легко представляем, это многочлены, то целые функции — это приятные во всех отношениях дамы, которые не являются многочленами, но обладают практически всеми свойствами многочленов. Это как бы простейший класс функций, следующий за многочленами. И поэтому естественно, что Келдыш, изучив и доказав окончательно теорему Вейерштрасса для многочленов, перешел к приближению уже с помощью вот этих приятных во всех отношениях дам, т. е. с помощью аналитических функций.

Типичным примером аналитической функции является экспоненциальная функция e^z или exp z.

Созданные Келдышем новые, глубоко конструктивные методы позволяли ему решать основные проблемы теории приближения целыми функциями. А именно, в самом лучшем случае оказалось возможным установить точную характеристическую связь между свойствами множества, свойствами определенных на нем аппроксимированных функций и скоростью касания и порядком роста аппроксимирующих целых функций. То есть он дал ответы на все вопросы, связанные с этой аппроксимацией.

Келдыш рассматривал также и классический случай равномерных приближений целыми функциями, но уже не в области, а на всей действительной оси. Например, рассматривая дифференцируемые на оси функции, производные которых имеют алгебраический рост на бесконечности, Келдыш доказал, что такая функция может быть аппроксимирована целыми функциями, порядок которых на единицу больше алгебраического роста ее производной, и этот порядок неулучшаем.

Большое влияние на все последующее развитие теории оказала полученная Келдышем и Лаврентьевым теорема, в которой дается исчерпывающая характеристика континуума Карлемана — так называется неограниченное замкнутое множество, на котором любая непрерывная функция допускает равномерное приближение целыми функциями с произвольным касанием на бесконечности. Оказалось, что помимо очевидного свойства — отсутствия внутренних точек множества и ограниченных компонентов дополнения, определяющим свойством является локальная связность этого континуума Карлемана в бесконечно удаленной точке.

Замечательным является обнаружение Келдышем факта существования универсального гарантированного порядка касания при приближении целыми функциями в любой области, границы которой представляют линию с началом и концом в бесконечно удаленной точке.

Эти труды Келдыша и развитые в них идеи и методы составили основу современной теории приближений целыми функциями в комплексной области и послужили отправной точкой многих последующих исследований. Они с успехом применяются и в настоящее время.

Важное место в математических исследованиях Келдыша занимают работы по проблеме Дирихле для уравнения Лапласа. Здесь он продолжал практические исследования Пуанкаре, Перрона, Балле Пуссена и особенно Винера, который ввел понятие емкости множества, являющееся обобщением электростатической емкости. Моряки заметили еще в средние века, что когда корабль находится в море, то с вершины паруса, где он имеет очень острый угол, срывается целый сноп искр и электричество не держится на парусе. Поэтому, естественно, возникает математический вопрос: сколь острым должен быть угол паруса, чтобы это электричество не стекало. То есть этот парус должен иметь определенную степень остроты. Вот этими проблемами и занимались люди, которые ввели понятие емкости множества, обобщающее понятие электростатической емкости.

Так вот, именно Келдыш поставил принципиально новые вопросы об устойчивости решения задачи Дирихле при малых изменениях граничных условий и начальных данных. Ответ зависит от выбранной точки на границе, где Келдыш ввел понятие устойчивости Дирихле внутри области, в данной граничной точке и во всей замкнутой области, и он нашел достаточные и необходимые условия, чтобы во всех трех случаях — в случае граничной точки, в случае внутри области и в случае в самой замкнутой области — были сформулированы критерии устойчивости.

Следует отметить и замечательные по силе примеры, когда наблюдаются неустойчивости всех трех родов, а задача Дирихле, тем не менее, разрешима при любых непрерывных данных на границе, когда граница есть Жорданова поверхность.

Я должен сказать, что математические работы Келдыша были всегда теснейшим образом связаны с его деятельностью в ЦАГИ, где им были решены труднейшие задачи, связанные с самолетостроением, когда он решал проблемы флаттера, шимми, о чем, я думаю, кто-то будет сегодня говорить. И в этой связи я хочу напомнить еще одну блестящую математическую работу М.В. Келдыша, выполненную вместе с Л.И. Седовым. Эта задача формулируется так: найти голоморфную в нижней полуплоскости функцию, ограниченную на бесконечности, которая принимает заданные граничные значения на заданных отрезках действительной оси. Эту задачу изучали Вольтерра, Синьорини, и они показали, что задача не всегда имеет ограниченное решение. Они нашли условие, когда оно есть, и установили формулу для ее решения. А Келдыш заметил, что в практических задачах гидромеханики и теории упругости надо требовать не ограниченности решения в нижней полуплоскости, а требовать ограниченности интеграла в окрестности каждой точки вещественной оси. Это была новая постановка. Она более естественна. Она вытекала из практики. И оказалось, что решение такой задачи всегда возможно, и дается явная формула, зависящая от n + 1 произвольных постоянных. А для того чтобы найти эти произвольные постоянные, надо требовать ограниченности решения вблизи n точек и задать значения функции на бесконечности. И тогда решение будет единственным. Таким образом, получена формула, дающая решение этой задачи в явном виде. Эта формула вошла во все учебники под названием "формула Келдыша-Седова" для задач нахождения такой голоморфной функции.

В связи с разработкой надежных методов расчета борьбы с флаттером М.В. Келдыш провел детальный анализ применения метода Галеркина для решения краевых задач, связанных с описанием неконсервативных систем.

М.В. Келдыш рассматривал как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных несамосопряженного вида, к которым метод Рица не мог применяться. Я об этом еще буду говорить. Но запомним, что впервые понятие "несамосопряженного оператора" появилось у М.В. Келдыша, когда он рассматривал задачи с неконсервативными системами.

Я остановлюсь еще на одной замечательной работе М.В. Келдыша "О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на части границы". К этой задаче привели исследования по трансзвуковой газодинамике, а Трикоми написал свое уравнение, которое до конца не изучил (оно изучается и сейчас) для сверхзвукового обтекания газом.

В этой работе впервые было обнаружено, что на части границы, где имеется вырождение, при определенных условиях данные Дирихле не задаются. И М.В. Келдыш сформулировал ее в окончательном виде.

Доказательство использует метод "барьеров" — специальных гармонических функций. Эта работа породила новое направление, которое развивали впоследствии М.И. Вишик, применявший функциональные методы теоремы вложения с весами, Л.Д. Кудрявцев и многие-многие другие.

В решении многих задач механики и физики существенную роль играет спектральная теория операторов, как самосопряженных, так и несамосопряженных. К несамосопряженным операторам приводит задача теории колебаний с диссипацией энергии, имеющая прикладное значение.

Работы М.В. Келдыша по теории флаттера и некоторые другие привели его к идее рассмотрения общих вопросов спектральной теории для несамосопряженных операторов, которые в отличие от самосопряженных к 1951 г. были практически не изучены. По краевым задачам для несамосопряженных операторов имелась важная работа Г. Биркгофа 1909 г., а также работа нашего замечательного математика Я.Д. Тамаркина (эмигрировал за границу сразу после революции), который написал замечательную книгу по этой теории, изданную в 1917 г. Однако в этих работах были выписаны конкретные задачи, и понятия "несамосопряженного оператора" тогда еще не существовало.

И вот я подхожу к рассказу о самой важной, на мой взгляд, работе М.В. Келдыша последних лет.

В 1951 г. Келдыш опубликовал результаты своих исследований по спектральной теории несамосопряженных операторов. В ней он впервые рассматривает широкий класс операторов в гильбертовом пространстве, полиномиально зависящих от спектральных параметров. Такие операторы сейчас во всей литературе называются пучками Келдыша.

Здесь центральным вопросом является изучение полноты собственных и присоединенных векторов, а также распределения спектра. Все эти задачи в данной работе Келдыш решил. Причем он впервые ввел понятие не полноты, а n-кратной полноты корневых векторов.

Хочу попробовать рассказать о способе доказательства. Дело в том, что обратный оператор к таким пучкам является мероморфной оператор-функцией комплексной переменной, имеющей особенности. И с помощью тонкого анализа свойств этой мероморфной оператор-функции — резольвенты — достигается нужный результат.

Для исследования распределения спектра Келдыш воспользовался идеей Карлемана, который сводит задачу распределения спектра, задачу Дирихле в конечной области, для сопряженного оператора второго порядка к изучению резольвенты на бесконечности. А затем Карлеман применял известную тауберову теорему Харди-Литлвуда.

Что такое тауберовы теоремы? В математике существует всего 5-6 тауберовых теорем, и каждая из них носит имя математика, ее придумавшего. Я думаю, что немного будет впереди математиков, которые сделают свою тауберову теорему. В них делается обратное заключение. Скажем, по поведению интеграла делается заключение о поведении подынтегральной функции. Т. е. не прямое исследование асимптотики интеграла, а наоборот: асимптотика интеграла известна, а надо узнать какие-то свойства подынтегральной функции.

Так вот самая известная теорема была Харди-Литлвуда. Но дело в том, что для этих исследований Келдыша она не годилась. И Келдыш открыл и доказал новую тауберову теорему, которая сейчас называется тауберовой теоремой Келдыша. Она более глубокая, она — для отношений. В дальнейшем эта теорема широко использовалась и совершенствовалась.

Работы Келдыша по несамосопряженным операторам имели принципиальное значение и получили колоссальный резонанс. Глубокие идеи и аналитические методы, заложенные в них, и сейчас с успехом используются во всей спектральной теории.

В простейшем случае он разложил любой вектор по собственным векторам и доказал полноту в так называемой копии гильбертовых пространств.

Я хочу сказать, что продолжением этих исследований сейчас занимаются очень многие первоклассные математики, которые получили дальнейшие блестящие результаты, но они, конечно, все связаны с открытиями Келдыша в этой работе. Я назову только таких математиков, как В.Б. Лидский, А.Г. Костюченко, Л.Д. Фаддеев, В.А. Ильин, ваш покорный слуга и т. д., которые в какой-то мере продолжали и продолжают эти исследования Келдыша по несамосопряженным операторам.

Интересен один нюанс. Разговоры из математических кругов. Келдыш опубликовал эту работу только в "Докладах Академии наук", и там было очень краткое сообщение. Три раздела в этой работе по полстраницы-странице на каждый раздел. А доказательство этой теоремы Келдыш подробно не публиковал, но рукопись отдал нескольким математикам. И вот обладатели рукописи с доказательством были самые счастливые люди в то время, потому что они могли изучать доказательства и публиковать работы быстрее, чем другие, поскольку они изучили методы Келдыша. Многие математики старались передоказать эти теоремы другим способом. Пожалуй, только в книге И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна, которая вышла спустя много десятков лет, впервые дано доказательство Келдыша, адаптированное к учебнику. Вот насколько глубокими были идеи, заложенные в этой работе.

Я скажу еще об одном нюансе этой работы. Так получилось, что в третьем разделе этой работы, посвященной конкретному примеру, Мстислав Всеволодович ошибся. Это бывает, что математик ошибается, но интересно, к чему привела эта ошибка. Дело в том, что эта работа была сразу опубликована в книге М.А. Наймарка по обыкновенным уравнениям с этой ошибкой. И авторитет Келдыша был столь высок, что многие математики принимали это на веру, не проверяя доказательство. Когда я был аспирантом, мы, группа молодых аспирантов, стали сомневаться в одном из разделов этой работы. Потом стало ясно, что там ошибка. Мстислав Всеволодович о ней знал, и сказал: "Ну, хорошо, вы молодые — вы и исправьте". Так вот эта ошибка, я назову ее — Ошибка, породила новую область, так называемую теорию краевых задач с нерегулярными граничными условиями. И сейчас все докторские диссертации идут в этом направлении — развитие теории краевых задач с нерегулярными условиями.

Хочу сказать, что это тот случай, когда ошибка гения породила новую область математики. Работа Келдыша дала толчок изучению теории несамосопряженных операторов, она породила новые задачи и поставила новые вопросы.

Заметим, что М.В. Келдыш до конца своей жизни очень интересовался новыми результатами, которые были получены после появления его работы в этой области.

В 1966 г. на Всемирном математическом конгрессе в Московском университете я находился в аудитории на 15-м этаже, где мы рассказывали какие-то свои аспирантские результаты по несамосопряженным операторам. В аудиторию неожиданно зашел Мстислав Всеволодович. Для нас он тогда был как икона. Он взглянул на доску и сразу же сделал ряд замечаний, из которых следовало, что все это он глубоко продумал и хорошо знает. И эта сцена — его приход в аудиторию, где докладывали молодые аспиранты, и его замечания к написанным формулам на доске по ходу до сих пор живо представляется мне. Этот случай произвел на меня очень глубокое впечатление.

С именем Келдыша также связано становление в нашей стране современной вычислительной математики. Келдыш, будучи одним из главных потребителей ЭВМ, с исключительной ясностью осознавал важность ЭВМ для дальнейшего развития науки и практики. В самом начале 50-х годов в МИАН им. Стеклова по инициативе Келдыша была создана группа, которая стала заниматься как теоретическими, так и практическими вопросами расчетов на ЭВМ. Высокий научный уровень и потенциал начатых тогда исследований определил наши успехи в последующие годы.

В 1953 г. из МИАН выделилось Отделение прикладной математики, а сейчас — знаменитейший ИПМ — Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша. Будучи директором Института и обремененный другими многочисленными обязанностями, Келдыш внес огромный личный вклад в развитие вычислительной математики и механики.

Одно воспоминание. Сейчас создание факультета вычислительной математики тесно связывают с именем А.Н. Тихонова. Он впервые стал деканом этого факультета. В России такие же факультеты создали все университеты, а потом этому примеру последовали и западные университеты. То есть в университетах стали создавать факультеты "компьютерсайенс". Так вот, на мой взгляд, Андрей Николаевич Тихонов не пробил бы сам решение этого вопроса, против которого были очень многие, в том числе известные математики, если бы не поддержка Мстислава Всеволодовича. Мстислав Всеволодович поддержал эту идею, вошел с нею в соответствующие органы, в ЦК, и решение было принято. То есть можно сказать, что развитие образования в области вычислительной математики обязано в том числе Мстиславу Всеволодовичу.

Келдыш очень следил за ходом развития всей математики и ее приложений, с присущей ему глубокой интуицией и прозорливостью угадывал пути развития новых направлений.

В качестве одного из примеров могу привести его предложение Л.С. Понтрягину заняться задачами оптимального управления, что, как известно, привело к открытию "принципа максимума Понтрягина". Рассказывают, что Мстислав Всеволодович пригласил Понтрягина и сказал: "Хватит Вам заниматься группами, хватит заниматься алгебраической топологией, займитесь конкретным вопросом — докажите принцип оптимального управления в случае, когда не работает классика". И Понтрягин с группой известных математиков взялся за решение этой задачи, и мы получили принцип максимума Понтрягина.

Идеи и разработки Келдыша далеко не всегда материализовывались в виде отчетов и статей. Но он всегда делился в личных беседах своими идеями с ближайшими сотрудниками и учениками.

Я закончу свое выступление двумя личными воспоминаниями. У Мстислава Всеволодовича был сын Петр, тоже очень талантливый, подающий надежды математик. Он учился на механико-математическом факультете, и так вышло, что мы дружили с Петром. Мы много обсуждали, кем он будет. Я считал, и так наверняка случилось бы, если бы не несчастье, что он тоже стал бы выдающимся математиком.

И последнее мое воспоминание. Мстислав Всеволодович уже не президент Академии наук, он настоял на своем уходе, сразу же активно погружается в работу в ИПМ. Я был членом диссертационного совета ИПМ, председателем которого был Мстислав Всеволодович. Он приходил на заседания диссертационного совета уже больным, у него болели ноги. Он доходил до стула, но как только садился, происходил интеллектуальный взрыв на самом совете. Он задавал вопросы, диссертанты начинали отвечать, волноваться, и шло настоящее действо, действо по поиску истины. Таким я и запомнил Мстислава Всеволодовича, выдающегося математика, человека, который сделал очень много и в других областях. Но работы в области математики сделали его бесспорно выдающимся математиком столетия, чье имя будет всегда стоять в математике наряду с именами Гильберта, Пуанкаре и др. Благодарю за внимание.

13 февраля 2001 г.